أنظمة المعادلات الخطية

تسمى مجموعة من معادلات الخطية بالنظام. فمثلا معادلتين في متغيرين ${\displaystyle x\,}$ و${\displaystyle y\,}$

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=14\\2x-y=1\end{cases}}\,}$

يدعى نظام معادلات خطى في متغيرين. توجد طرق حل كثيرة لإيجاد قيم ${\displaystyle x\,}$ و${\displaystyle y\,}$ التي تحقق المعادلتين المعرفتين للنظام منها الجبرى والهندسي.

إيجاد الحل بالعمليات على المعادلات

إيجاد الحل بالحذف

بضرب طرفى المعادلة الثانية في 2.

${\displaystyle 4x+2y=14\,}$

${\displaystyle 4x-2y=2\,}$

بجمع المعادلتين نجد

${\displaystyle 8x=16\,}$

ومنها

${\displaystyle x=2\,}$

وبالتعويض في أي من معادلتى النظام يمكن استنتاج

${\displaystyle y=3\,}$

 

إيجاد الحل بالتعويض

يعتمد هذا الحل على التعويض بالمعادلة المعبرة عن ${\displaystyle y\,}$ لاستنتاج قيمة ${\displaystyle x\,}$ ومن ثم التعويض بقيمة ${\displaystyle x\,}$ المستنتجة لإيجاد قيمة ${\displaystyle y\,}$.
بطرح ${\displaystyle 2x\,}$ من طرفى المعادلة الثانية نجصل على

${\displaystyle 2x-y-2x=1-2x\,}$

ويتم تبسيطها إلى

${\displaystyle -y=1-2x\,}$

وبضرب طرفى الأخيرة في ${\displaystyle -1\,}$ نحصل على

${\displaystyle y=2x-1\,}$

وبالتعويض بما يساوى ${\displaystyle y\,}$ في المعادلة الأولى في النظام

${\displaystyle 4x+2(2x-1)=14\,}$

${\displaystyle 4x+4x-2=14\,}$

${\displaystyle 8x-2=14\,}$

وبجمع ${\displaystyle 2\,}$ لطرفى هذه المعادلة نحصل على

${\displaystyle 8x=16\,}$ ومنها بالقسمة على ${\displaystyle 8\,}$ تكون

${\displaystyle x=2\,}$

وبالتعويض بقيمة ${\displaystyle x\,}$ في أي من معادلتى النظام تكون

${\displaystyle y=3\,}$

حالات خاصة من أنظمة المعادلات الخطية

في المثال السابق تمكننا من إيجاد حل يحقق المعادلات الموصفة للنظام. ولكن توجد أنظمة أخرى ليس لها حلول إما لأنها غير قابلة للحل أو غير محددة.

أنظمة غير قابلة للحل

يعمد المثال التالي على أبسط الأمثلة للأنظمة غير قابلة للحل

${\displaystyle {\begin{cases}x+y=1\\0x+0y=2\end{cases}}\,}$

وذلك بسبب أن المعادلة الثانية ليس لها حل.
هناك أنظمة أخرى مثل

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=12\\-2x-y=-6\end{cases}}\,}$

عند إيجاد حل لهذا النظام نجد

${\displaystyle y=-2x+6\,}$

وبالتعويض

${\displaystyle 4x+2(-2x+6)=12\,}$

${\displaystyle 4x-4x+12=12\,}$

${\displaystyle 12=12\,}$

تلاشت كل المتغيرات والمتساوية الأخيرة غير صحيحة. إذا نتج عن هذا التعويض متساوية صحيحة يكون هذا النظام غير محدد.

أنظمة غير محددة

في المثال التالي

${\displaystyle {\begin{cases}4x+2y=12\\-2x-y=-6\end{cases}}\,}$

بعزل ${\displaystyle y\,}$ يكون

${\displaystyle y=-2x+6\,}$

و بالتعويض

${\displaystyle 4x+2(-2x+6)=12\,}$

${\displaystyle 4x-4x+12=12\,}$

${\displaystyle 12=12\,}$

المعادلات الخطية في متغير واحد

تعد المعادلة الخطية في مجهول واحد أبسط المعادلات على الإطلاق فهي تتكون من متغير واحد وبعض الثوابت العددية.

${\displaystyle 2x+4=12\,}$

الطريقة الأساسية لحل هذه المعادلة هي تطبيق العمليات الأساسية من جمع وطرح وضرب وقسمة على طرفي المعادلة لنحصل على المتغير في جانب والثوابت في الجانب الآخر. فمثلا

${\displaystyle 2x+4-4=12-4\,}$

لتتبسط إلى

${\displaystyle 2x=8\,}$

والآن نقسم الطرفين على ${\displaystyle 2\,}$

${\displaystyle {2x \over 2}={8 \over 2\,}}$

ويتم تبسيطها إلى

${\displaystyle x=4\,}$

الحالة العامة للمعادلات الخطية من الدرجة الأولى في متغير واحد هي كالتالى

${\displaystyle ax+b=c\,}$

حيث ${\displaystyle x\,}$ هو المتغير و${\displaystyle a,b,c\,}$ هم ثوابت عددية.
والحل العام لهذه المعادلة يكون

${\displaystyle x={{c-b} \over a}\,}$

و يشترط لاستعمال هذه الطريقة ان يكون العدد (a) لا بساوى الصفر