المعادلات الخطية في متغير واحد

تعد المعادلة الخطية في مجهول واحد أبسط المعادلات على الإطلاق فهي تتكون من متغير واحد وبعض الثوابت العددية.

${\displaystyle 2x+4=12\,}$

الطريقة الأساسية لحل هذه المعادلة هي تطبيق العمليات الأساسية من جمع وطرح وضرب وقسمة على طرفي المعادلة لنحصل على المتغير في جانب والثوابت في الجانب الآخر. فمثلا

${\displaystyle 2x+4-4=12-4\,}$

لتتبسط إلى

${\displaystyle 2x=8\,}$

والآن نقسم الطرفين على ${\displaystyle 2\,}$

${\displaystyle {2x \over 2}={8 \over 2\,}}$

ويتم تبسيطها إلى

${\displaystyle x=4\,}$

الحالة العامة للمعادلات الخطية من الدرجة الأولى في متغير واحد هي كالتالى

${\displaystyle ax+b=c\,}$

حيث ${\displaystyle x\,}$ هو المتغير و${\displaystyle a,b,c\,}$ هم ثوابت عددية.
والحل العام لهذه المعادلة يكون

${\displaystyle x={{c-b} \over a}\,}$

و يشترط لاستعمال هذه الطريقة ان يكون العدد (a) لا بساوى الصفر

قوانين المتساويات

• إذا كان ${\displaystyle a=b\,}$ و ${\displaystyle b=c\,}$ إذن ${\displaystyle a=c\,}$
• إذا كان ${\displaystyle a=b\,}$ إذن ${\displaystyle b=a\,}$

قوانين أخرى

• إذا كان ${\displaystyle a=b\,}$ و ${\displaystyle c=d\,}$ إذن ${\displaystyle a+c=b+d\,}$
• إذا كان ${\displaystyle a=b\,}$ إذن ${\displaystyle a+c=b+c\,}$ لأى رقم ${\displaystyle c\,}$
• إذا كان ${\displaystyle a=b\,}$ و ${\displaystyle c=d\,}$ إذن ${\displaystyle a\times c=b\times d\,}$
• إذا كان ${\displaystyle a=b\,}$ إذن ${\displaystyle a\times c=b\times c\,}$ لأى رقم ${\displaystyle c\,}$
• إذا وجد متغيرين متساويين يمكن استبدال أحدهما بما يساويه الآخر.
• إذا كان ${\displaystyle a>b\,}$ و ${\displaystyle b>c\,}$ إذن ${\displaystyle a>c\,}$ (علاقة التعدي)
• إذا كان ${\displaystyle a>b\,}$ إذن ${\displaystyle a+c>b+c,}$ لأى رقم ${\displaystyle c\,}$
• إذا كان ${\displaystyle a>b\,}$ و ${\displaystyle c>0\,}$ اذن ${\displaystyle a\times c>b\times c\,}$
• إذا كان ${\displaystyle a>b\,}$ و ${\displaystyle c<0\,}$ إذن ${\displaystyle a\times c<b\times c\,}$

• القسمة عملية معاكسة للضرب.أي أن قسمة أي رقم على رقم آخر يساوى الفرق في تكرار الجمع بينهما الذي لو أضيف للرقم الثاني يساوى الرقم الأول.

${\displaystyle {a \over b}=c\,}$

${\displaystyle a=c\times b\,}$

• وهذا يعنى أن قسمة الرقم على نفسه لابد أن يساوى المحايد الضربى (الواحد).

${\displaystyle {a \over a}=1\,}$

لأن

${\displaystyle a\times 1=a\,}$

لذلك يتم تعريف المعاكس الضربى لكل عنصر في الأرقام المتعامل معها جبريا.

• المعاكس الضربى لرقم ${\displaystyle a}$ هو الرقم ${\displaystyle (a^{-1})}$ الذي يساوى حاصل ضربهما الواحد.

${\displaystyle a\times (a^{-1})=1\,}$

• وهكذا تتحول عملية القسمة إلى عملية ضرب باستبدال العدد المقسوم عليه بمعاكسه الضربى أو ما يسمى بمقلوب العدد

${\displaystyle a\times (b^{-1})={a \over b}\,}$